Question

2．定積分$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=（　　）

• A． $\frac{π}{2}+\frac{1}{3}$
• B． $\frac{π}{2}-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{π}{4}+\frac{1}{3}$
• D． $\frac{π}{4}-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 將定積分運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化成$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$x²dx，利用定積分的性質(zhì)求得${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，即可得到答案．

解答 解：$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$x²dx，
由定積分的幾何意義，${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx為以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{3}$，
故答案選：C．

點評 本題考查定積分的運算性質(zhì)，定積分的幾何意義，屬于基礎題．