Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，A，B分別是橢圓的左頂點和上頂點，若線段AB上存在點P，使PF₁⊥PF₂，則橢圓的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 依題意，作圖如下：A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線AB的方程為：bx-ay+ab=0，設直線AB上的點P（x，y），則bx=ay-ab，由PF₁⊥PF₂，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-c²=$（\frac{a}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），令f′（y）=2$\frac{a}$$（\frac{a}y-a）$+2y=0，解得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$，x=-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，為最小值．當點P取B時，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$取得最大值．即可得出．

解答 解：依題意，作圖如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}$=1．整理得：bx-ay+ab=0，
設直線AB上的點P（x，y）
則bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=$（\frac{a}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），
令f′（y）=2$\frac{a}$$（\frac{a}y-a）$+2y=0，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$，于是x=-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$（-\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}）^{2}+（\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}）^{2}$-c²=0，
整理可得：$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，為最小值．
當點P取B時，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴橢圓的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．