Question

1．已知遞減等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₁a₅=$\frac{1}{64}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₂a₄=$\frac{1}{64}$，解得a₂，a₄，注意遞減，再由等比數(shù)列的通項公式，計算即可得到；
（2）求得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
由a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₁a₅=$\frac{1}{64}$，可得
a₂+a₄=$\frac{5}{16}$，a₂a₄=$\frac{1}{64}$，
解得a₂=$\frac{1}{4}$，a₄=$\frac{1}{16}$或a₄=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{1}{16}$，
由等比數(shù)列遞減，可得a₂=$\frac{1}{4}$，a₄=$\frac{1}{16}$，
即有q²=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，解得q=$\frac{1}{2}$，
即有a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）a_nb_n=n，可得b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
前n項和S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化簡可得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：錯位相減法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．