Question

5．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，AC⊥AB，D，E分別是AC，BC的中點，F(xiàn)在SE上，且SF=2FE．
（1）求證：AF⊥平面SBC；
（2）在線段上DE上是否存在點G，使二面角G-AF-E的大小為30°？若存在，求出DG的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過證明AF與平面SBC內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；
（2）抓住兩點找到問題的求解方向：一是點G的預(yù)設(shè)位置，二是二面角G-AF-E的位置，計算即可．

解答 （1）證明：由AC=AB=SA=2，AC⊥AB，E是BC的中點，得$AE=\sqrt{2}$．
因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE． 
在Rt△SAE中，$SE=\sqrt{6}$，所以$EF=\frac{1}{3}SE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
因此AE²=EF•SE，又因為∠AEF=∠AES，
所以△EFA∽△EAS，
則∠AFE=∠SAE=90°，即AF⊥SE． 
因為SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC，又BC⊥AE，
所以BC⊥底面SAE，則BC⊥AF．
又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC． 
（2）結(jié)論：在線段上DE上存在點G使二面角G-AF-E的大小為30°，此時DG=$\frac{1}{2}$．
理由如下：
假設(shè)滿足條件的點G存在，并設(shè)DG=t．
過點G作GM⊥AE交AE于點M，
又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE．
作MN⊥AF交AF于點N，連結(jié)NG，則AF⊥NG．
于是∠GNM為二面角G-AF-E的平面角，
即∠GNM=30°，由此可得$MG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1-x）$．   
由MN∥EF，得$\frac{MN}{EF}=\frac{AM}{AE}$，
于是有$\frac{MN}{{\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1+t）}}{{\sqrt{2}}}$，$MN=\frac{{\sqrt{6}}}{6}（1+t）$．
在Rt△GMN中，MG=MNtan30°，
即$\frac{{\sqrt{2}}}{2}（1-t）=\frac{{\sqrt{6}}}{6}（1+t）•\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，解得$t=\frac{1}{2}$．
于是滿足條件的點G存在，且$DG=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查空間幾何圖形中線面關(guān)系的平行或垂直的證明及空間角的計算，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．