Question

19．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1．點(diǎn)P為線段C₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AP∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求證：平面BCC₁⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出四邊形ABC₁P為平行四邊形，從而AP∥BC₁，由此能證明AP∥平面BDC₁．
（Ⅱ）推導(dǎo)出BD⊥BC，CC₁⊥BD，從而B(niǎo)D⊥平面BCC₁．由此能證明平面BCC₁⊥平面BDC₁．

解答 證明：（Ⅰ）∵點(diǎn)P是線段C₁D₁的中點(diǎn)，∴PC₁=$\frac{1}{2}{D}_{1}{C}_{1}$，
由題意PC₁∥DC，∴PC₁$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，
又AB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}DC$，∴PC₁$\underset{∥}{=}$AB，
∴四邊形ABC₁P為平行四邊形，
∴AP∥BC₁，
又∵AP?平面BDC₁，BC₁?平面BDC₁，
∴AP∥平面BDC₁．
（Ⅱ）在底面ABCD中，
∵AB∥CD，AD⊥AB，AB=AD=$\frac{1}{2}CD=1$，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$，
在△BCD中，BD²+BC²=CD²，∴BD⊥BC，
由已知CC₁⊥底面ABCD，∴CC₁⊥BD，
又BC∩CC₁=C，∴BD⊥平面BCC₁．
又∵BD?平面BDC₁，∴平面BCC₁⊥平面BDC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．