Question

11．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，F(xiàn)D⊥底面ABCD，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面CFM⊥平面BDF；
（2）點(diǎn)N在CE上，EC=2，F(xiàn)D=3，當(dāng)CN為何值時(shí)，MN∥平面BEF．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出四邊形BCDM是正方形，從而B(niǎo)D⊥CM，又DF⊥CM，由此能證明CM⊥平面BDF．
（2）過(guò)N作NO∥EF，交EF于O，連結(jié)MO，則四邊形EFON是平行四邊形，連結(jié)OE，則四邊形BMON是平行四邊形，由此能推導(dǎo)出N是CE的中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面BEF．

解答 證明：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，F(xiàn)D⊥BD
∵AF=BF，∴△ADF≌△BDF，∴AD=BD，
連接DM，則DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，
∴四邊形BCDM是正方形，∴BD⊥CM，
∵DF⊥CM，∴CM⊥平面BDF．
解：（2）當(dāng)CN=1，即N是CE的中點(diǎn)時(shí)，MN∥平面BEF．
證明如下：
過(guò)N作NO∥EF，交ED于O，連結(jié)MO，
∵EC∥FD，∴四邊形EFON是平行四邊形，
∵EC=2，F(xiàn)D=3，∴OF=1，∴OD=2，
連結(jié)OE，則OE∥DC∥MB，且OE=DC=MB，
∴四邊形BMOE是平行四邊形，則OM∥BE，又OM∩ON=O，
∴平面OMN∥平面BEF，
∵M(jìn)N?平面OMN，∴MN∥平面BEF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查滿足線面平行的點(diǎn)的位置的確定，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．