Question

18．如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，側棱AA₁⊥底面ABC，D是BC的中點，AA₁=AB=AC=2，
（1）求證：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求三棱錐A₁-B₁DA的體積．

Answer 1

分析 （1）由正三棱柱的幾何特征可得AD⊥B₁B，由等邊三角形三線合一，可得AD⊥BD，結合線面垂直及面面垂直的判定定理，可依次證得AD⊥平面B₁BCC₁及平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）連接A₁B，交AB₁于E，連DE，由三角形中位線定理可得DE∥A₁C，進而根據(jù)線面平行的判定定理可得A₁C∥平面AB₁D．
（3）利用等體積轉化，即可求三棱錐A₁-B₁DA的體積．

解答 （1）證明：因為B₁B⊥平面ABC，AD?平面ABC，
所以AD⊥B₁B    
因為D為正△ABC中BC的中點，
所以AD⊥BD    
又B₁B∩BC=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁   
又AD?平面AB₁D，故平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁    
（2）證明：連接A₁B，交AB₁于E，連DE    
因為點E為矩形A₁ABB₁對角線的交點，所以E為AB₁的中點 
又D為BC的中點，所以DE為△A₁BC的中位線，
所以DE∥A₁C   
又DE?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D；
（3）解：三棱錐A₁-B₁DA的體積等于三棱錐D-A₁B₁A的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行、垂直的證明，考查三棱錐A₁-B₁DA的體積的計算，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關鍵．