【題目】已知常數(shù),函數(shù).

(1)討論在區(qū)間上的單調(diào)性;

(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),且,求a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析;(2).

【解析】試題分析:

(1)結(jié)合函數(shù)的解析式可得,分類討論有:

當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減,

在區(qū)間上單調(diào)遞增;

(2)首先確定,結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)討論計(jì)算可得a的取值范圍是.

試題解析:

(1)

當(dāng)時(shí),此時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí),,得

當(dāng)時(shí),;時(shí),;

在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增

綜上所述,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增

(2)由(1)知,當(dāng)時(shí),,

此時(shí)不存在極值點(diǎn),因而要使得有兩個(gè)極值點(diǎn),必有

的極值點(diǎn)只可能是,且由的定義域可知

,所以

解得,此時(shí)分別是的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),而

時(shí),當(dāng),時(shí),

當(dāng),,所以

因此,在區(qū)間上單調(diào)遞減,從而故當(dāng)時(shí),

當(dāng),,所以

因此,在區(qū)間上單調(diào)遞減,從而

故當(dāng)時(shí),

綜上所述,滿足條件的a的取值范圍為

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