【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ACB=90°.BC=CC1=a,AC=2a.
(1)求證:AB1⊥BC1;
(2)求二面角B﹣AB1﹣C的正弦值.

【答案】
(1)證明:∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,

∴CC1⊥平面ABC,則AC⊥CC1

又∵AC⊥BC,BC∩CC1=C,

∴AC⊥平面B1BCC1,則AC⊥BC1,

∵BC=CC1,∴四邊形B1BCC1是正方形,

∴BC1⊥B1C,

又AC∩B1C=C,∴BC1⊥平面AB1C,則AB1⊥BC1


(2)解:設(shè)BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于點(diǎn)P,連結(jié)BP.

由(1)知BO⊥AB1,而BO∩OP=O,

∴AB1⊥平面BOP,則BP⊥AB1,

∴∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角.

∵△OPB1~△ACB1,∴

∵BC=CC1=a,AC=2a,∴OP= ,

=

在Rt△POB中,sin∠OPB= ,

∴二面角B﹣AB1﹣C的正弦值為


【解析】(1)由已知可得AC⊥平面B1BCC1 , 則AC⊥BC1 , 再由BC=CC1 , 得BC1⊥B1C,由線面垂直的判定可得BC1⊥平面AB1C,從而得到AB1⊥BC1;(2)設(shè)BC1∩B1C=O,作OP⊥AB1于點(diǎn)P,連結(jié)BP.由(1)知BO⊥AB1 , 進(jìn)一步得到AB1⊥平面BOP,說明∠OPB是二面角B﹣AB1﹣C的平面角.然后求解直角三角形得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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