Question

設(shè)函數(shù)f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]•e^x
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）a≥1時(shí)，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得f（x）的遞增區(qū)間；
（2）a≥1時(shí)，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，即可求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=（x+a）（x-1）e^x＞0
①a＜-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（-a，+∞）；
②a＞-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a），（1，+∞）；
③a=-1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（2）由（1）可知f（x）在（-∞，1），（-a，+∞）上遞增，在（-a，1）上遞減，
∴f（x）有極大值點(diǎn)-a，極小值點(diǎn)1，且f（1）=（1-a）e≤0，f（-a）=

a+3

ea

＞0，
令h（x）=x²+（a-3）x-2x+3，對(duì)稱軸

3-a

2

＞-a，h（-a）=a+3＞0，
∴x≤-a時(shí)，h（x）≥h（-a）＞0，即f（x）＞0，
∴f（x）_min=f（1）=（1-a）e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最小值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．