橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，1），離心率e=
3
2

（1）求橢圓方程；
（2）過直線y=2上的點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C
①求證：直線BC過定點(diǎn)；
②求△OBC面積的最大值；
參考公式：過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上點(diǎn)（x0，y0）的切線方程為
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）利用橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，1），離心率e=
3
2
，建立方程，求出a，b，即可求橢圓方程；
（2）①求出切線PB，PC的方程，代入P，即可得出結(jié)論；
②表示出面積，利用配方法，即可求△OBC面積的最大值．
解答： （1）解：∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（2，1），離心率e=
3
2
，
∴
4
a2
+
1
b2
=1，
c
a
=
3
2
，
∴a2=8，b2=2，
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
2
=1；
（2）①證明：設(shè)P（x0，2），B（x1，y1），C（x2，y2），
則切線PB：
x1x
8
+
y1y
2
=1，PC：
x2x
8
+
y2y
2
=1，
P（x0，2）代入，可得直線BC的方程為
x0x
8
+y=1，
∴直線BC過定點(diǎn)（0，1）；
②
x0x
8
+y=1代入橢圓方程可得（1+
x02
16
）x2-x0x-4=0，
∴x1+x2=
x0
1+
x02
16
，x1x2=
-4
1+
x02
16
，
∴S△OBC=
1
2
|x1-x2|=
8
2x02+16
x02+16
，
令u=x02+16，則S△OBC=8
-16(
1
u
-
1
16
)2+
1
16
≤2，
∴△OBC面積的最大值為2．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查橢圓的性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A={1，2}，B={2，3，4}，則A∩B=（　�。�
A、{2}
B、{1，2}
C、{1，3，4}
D、{1，2，3，4}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若拋物線y2=mx的焦點(diǎn)與雙曲線
x2
3
-y2=1的左焦點(diǎn)重合，則這條拋物線的方程為（　�。�
A、y2=4x
B、y2=-4x
C、y2=-4
2
x
D、y2=-8x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
lnx
1+x
-lnx，f（x）在x=x0處取得最大值，以下各式正確的序號為（　�。�
①x0＜
1
2
；
②x0＞
1
2
；
③f（x0）＜x0；
④f（x0）=x0；
⑤f（x0）＞x0．
A、①③B、①④C、②④D、②⑤

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x3sin3x，則f′（1）=（　�。�
A、3sin3+3cos3
B、3sin3-3cos3
C、3sin3+cos3
D、3sin3-cos3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=[x2+（a-3）x-2a+3]•ex
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）a≥1時(shí)，求f（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．
（1）根據(jù)這個(gè)規(guī)律，寫出生物體內(nèi)碳14的含量p與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆漢墓的年代．（精確到個(gè)位；輔助數(shù)據(jù)：log20.767≈-0.3827）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx
x

（1）求f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）求f（x）在[1，e2]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知cosα=
1
3
，且-
π
2
＜α＜0，求
sin(2π+α)
tan(-α-π)cos(-α)•tanα
的值．

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同步練習(xí)冊答案