Question

設M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）（x∈R）構成的集合：①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是集合M中的一個元素，x₀是方程f（x）-x=0的實數(shù)根，求證：對于定義域中的任意兩個實數(shù)x₁，x₂，當|x₀-x₁|＜1且|x₂-x₀|＜1時，不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜2成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）利用方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1，進行驗證，即可得出結論；
（Ⅱ）構造f（x）-x，研究函數(shù)f（x）-x的單調(diào)性，從而得到|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，再利用絕對值不等式即可證得．

解答： 解：（I）因為f′（x）=

1

2

-

sinx

8

，所以f′（x）∈[

3

8

，

5

8

]，滿足條件0＜f′（x）＜1，
又因為當x=0時，f（

π

4

）-

π

4

＞0，f（π）-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有實數(shù)根．
所以函數(shù)f（x）=

x

2

+

cos

8

-

1

8

是集合M中的元素．
（II）不妨設x₁＜x₂，因為f'（x）＞0，
所以f（x）為增函數(shù)，
所以f（x₁）＜f（x₂），
又因為f'（x）-1＜0，
所以函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，
所以f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
所以0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
即|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
所以|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|=|x₂-x₀-（x₁-x₀）|≤|x₂-x₀|+|x₁-x₀|＜2．

點評：本題考查了導數(shù)的運算，以及不等式的證明，是一道函數(shù)綜合問題，有一定難度．