Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，
（1）若函數(shù)f（x）=2^xsin（πx），證明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a為正的常數(shù)），試證明函數(shù)φ（x）是以T為周期的周期函數(shù)；
（3）若f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），且當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{10}$x（x²-9），記S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整數(shù)n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件進(jìn)行證明即可．
（2）結(jié)合條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明．
（3）將f（4n-2）分成三組，分別計(jì)算出每組數(shù)列的特點(diǎn)，利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 證明：（1）若f（x）=2^xsin（πx），
∴f（x+2）=2^x+2sin（πx+2π）=4•2^xsin（πx）=4f（x）；
（2）若f（x）=a^xφ（x），
則，滿足f（x+T）=kf（x），
即a^x+Tφ（x+T）=ka^xφ（x），
即a^Tφ（x+T）=kφ（x），
即φ（x+T）=ka^-Tφ（x），
故函數(shù)φ（x）是以T為周期的周期函數(shù)．
（3）∵若f（x+6）=$\sqrt{2}$f（x），且當(dāng)x∈[-3，3]時(shí)，f（x）=$\frac{1}{10}$x（x²-9），
∴f（2）=-1，f（14）=f（12+2）=（$\sqrt{2}$）²f（2）=-2，
則f（2），f（14），f（26）…構(gòu)成以-1為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列，
f（6）=$\sqrt{2}$f（0）=0，
即f（6）=f（18）=f（6k）=…=0，
f（10）=f（12-2）（$\sqrt{2}$）²f（-2）=2，
f（22）=f（12+10）=（$\sqrt{2}$）²f（10）=2×2=4，
則f（10），f（22），f（34）…構(gòu)成以2為首項(xiàng)，公比q=2的等比數(shù)列，
每相鄰三項(xiàng)為一組設(shè)n=3k，
則S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）=$\frac{-1•（1-{2}^{k}）}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{k}）}{1-2}$=2^k-1+2•2^k-2=3•2^k-3，
當(dāng)k=8時(shí)，S_n=765，
即當(dāng)k=8時(shí)，n=24，
則當(dāng)n=25時(shí)，f（4n-2）=f（4×25-2）=f（98）=f（16×6+2）=（$\sqrt{2}$）¹⁶f（2）=-256，
此時(shí)S₂₅=765-256=509，
當(dāng)n=26時(shí)，f（4n-2）=f（4×26-2）=f（102）=f（17×6）=0，
此時(shí)S₂₆=765-256=509，
當(dāng)n=27，f（4n-2）=f（4×27-2）=f（106）=f（18×6-2）=（$\sqrt{2}$）¹⁸f（-2）=512，
此時(shí)S₂₇=509+512=1021，
故使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整數(shù)n為26

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)與數(shù)列的綜合，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．