Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{kπ}{2}$），x∈[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{（k+1）π}{2}$]，k∈Z，①函數(shù)f（x）的最小正周期為2π；②函數(shù)f（x）值域?yàn)閇-1，1]；③函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；④函數(shù)f（x）與y=$\frac{x}{10}$有7個(gè)交點(diǎn)．其中正確的序號(hào)是②④．

Answer 1

分析 由k=1，運(yùn)用誘導(dǎo)公式和周期概念，即可判斷①；討論k為奇數(shù)或偶數(shù)，求得值域，即可判斷②；
由k為奇數(shù)，運(yùn)用誘導(dǎo)公式，即可判斷③；通過(guò)討論k的取值，結(jié)合圖象，即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷④．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{kπ}{2}$），x∈[$\frac{kπ}{2}$，$\frac{（k+1）π}{2}$]，k∈Z，
k=1時(shí)，f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]，
此時(shí)函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)，①錯(cuò)誤；
當(dāng)k=2n，n為整數(shù)時(shí)，f（x）=sin（x+nπ），x∈[nπ，nπ+$\frac{π}{2}$]，n∈Z，
可得f（x）∈[0，1]；
當(dāng)k=2n+1，n為整數(shù)時(shí)，f（x）=sin（x+nπ+$\frac{π}{2}$），x∈[nπ+$\frac{π}{2}$，nπ+π]，n∈Z，
可得f（x）∈[-1，0]；
此時(shí)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，∴②正確；
由于當(dāng)k=2n+1，n為整數(shù)時(shí)，f（x）=sin（x+nπ+$\frac{π}{2}$）=±cosx，
此時(shí)函數(shù)f（x）也不是奇函數(shù)，③錯(cuò)誤；
④由于f（x）的值域?yàn)閇-1，1]，-1≤$\frac{x}{10}$≤1，
可得-10≤x≤10才有交點(diǎn)，
當(dāng)k=0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=1時(shí)，f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx＜0，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=sin（x+π）=-sinx＞0，
x∈[π，$\frac{3π}{2}$]，1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=3時(shí)，f（x）=sin（x+$\frac{3}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[$\frac{3π}{2}$π，2π]，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=4時(shí)，f（x）=sin（x+2π）=sinx＞0，
x∈[2π，$\frac{5π}{2}$]，1個(gè)交點(diǎn)；
k≥5，且k整數(shù)時(shí)，均無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=sin（x-$\frac{1}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[-$\frac{1}{2}$π，0]，1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-2時(shí)，f（x）=sin（x-π）=-sinx＞0，
x∈[-π，-$\frac{1}{2}$π]，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-3時(shí)，f（x）=sin（x-$\frac{3}{2}$π）=cosx＜0，
x∈[-$\frac{3}{2}$π，-π]，1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-4時(shí)，f（x）=sin（x-2π）=sinx＞0，
x∈[-2π，-$\frac{3}{2}$π]，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-5時(shí)，f（x）=sin（x-$\frac{5}{2}$π）=-cosx＜0，
x∈[-$\frac{5}{2}$π，-2π]，1個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-6時(shí)，f（x）=sin（x-3π）=-sinx＞0，
x∈[-3π，-$\frac{5}{2}$π]，無(wú)交點(diǎn)；
當(dāng)k=-7時(shí)，f（x）=sin（x-$\frac{7}{2}$π）=cosx＜0，
x∈[-$\frac{7}{2}$π，-3π]，1個(gè)交點(diǎn)；
k≤-8，且k整數(shù)時(shí)，均無(wú)交點(diǎn)．
函數(shù)f（x）與y=$\frac{x}{10}$有7個(gè)交點(diǎn)，故④對(duì)．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是周期和奇偶性、值域的求法和判斷，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，考查分類(lèi)討論的思想方法，是一道難題．