Question

14．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x-1，且f（0）=3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（log₃x+m），x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值為3，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出f（x）解析式，表示出f（x+1），代入已知等式確定出a，b，c的值，即可求出f（x）解析式；
（2）令t=log₃x+m，得到f（t）關(guān)于t的二次函數(shù)，由x∈[$\frac{1}{3}$，3]的最小值為3，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出m的值即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c，
∵f（x+1）-f（x）=2x-1，
∴a=1，b=-2，c=3，
則f（x）=x²-2x+3；
（2）令t=log₃x+m，則t∈[m-1，m+1]，
則y=f（log₃x+m）=f（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2，
當(dāng)1≤m-1?m≥2時(shí)，則f（m-1）=3⇒m=3，
當(dāng)1≥m+1?m≤0時(shí)，則f（m+1）=3⇒m=-1，
當(dāng)m-1＜1＜m+1?0＜m＜2時(shí)，f（1）=3不成立，
綜上，m=-1或m=3．

點(diǎn)評 此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．