Question

4．已知函數(shù)f（x）=xcosx-sinx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（${\frac{π}{2}$，f（${\frac{π}{2}}$））處的切線(xiàn)方程；
（2）記x_n為f（x）的從小到大的第n（n∈N^*）個(gè)極值點(diǎn)，證明：不等式$\frac{1}{x_1^2}$+$\frac{1}{x_2^2}$+$\frac{1}{x_3^2}$+…+$\frac{1}{x_n^2}$＜$\frac{7}{{4{π^2}}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線(xiàn)的斜率，即可求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（${\frac{π}{2}$，f（${\frac{π}{2}}$））處的切線(xiàn)方程；
（2）由f'（x）=-xsinx=0，x＞0，得${x_n}=nπ（{n∈{N^*}}）$，所以當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，$\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{{{n^2}{π^2}}}＜\frac{1}{{（{n-1}）（{n+1}）{π^2}}}=\frac{1}{{2{π^2}}}（{\frac{1}{{（{n-1}）}}-\frac{1}{{（{n+1}）}}}）$．利用放縮法，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx，則切線(xiàn)的斜率為$f'（{\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}sin\frac{π}{2}=-\frac{π}{2}$，
又$f（{\frac{π}{2}}）=-1$，故函數(shù)f（x）在點(diǎn)$（{\frac{π}{2}，f（{\frac{π}{2}}）}）$處的切線(xiàn)方程為$y-（{-1}）=-\frac{π}{2}（{x-\frac{π}{2}}）$，即$\frac{π}{2}x+y+1-\frac{π^2}{4}=0$．
（2）證明：由f'（x）=-xsinx=0，x＞0，得${x_n}=nπ（{n∈{N^*}}）$，
所以當(dāng)n≥2且n∈N^*時(shí)，$\frac{1}{x_n^2}=\frac{1}{{{n^2}{π^2}}}＜\frac{1}{{（{n-1}）（{n+1}）{π^2}}}=\frac{1}{{2{π^2}}}（{\frac{1}{{（{n-1}）}}-\frac{1}{{（{n+1}）}}}）$．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，n∈N^*時(shí)，$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}+…+\frac{1}{x_n^2}＜\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}$$（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）$=$\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）＜\frac{1}{π^2}+\frac{1}{{2{π^2}}}（{1+\frac{1}{2}}）=\frac{7}{{4{π^2}}}$．
又當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{x_1^2}=\frac{1}{π^2}＜\frac{7}{{4{π^2}}}$．
綜上，$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}+…+\frac{1}{x_n^2}＜\frac{7}{{4{π^2}}}（{n∈{N^*}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．