Question

12．如圖，點P是正方形ABCD所在平面外一點，M為PD的中點．
（1）試在PC上找一點N，使得MN∥AB，并說明理由；
（2）若點P在平面ABCD上的射影是點D，PD=AB=a（a是正常數(shù)），求異面直線MC與AB所成角的大小；
（3）若PA=AB=a（a是正常數(shù)），試判斷P點在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在點C上？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在PC上取中點N，M為PD的中點．則MN∥DC，又DC∥AB，即可判定MN∥AB．
（2）由AB∥DC，可得∠MCD即為所求，可證PD⊥DC，△MCD中，可得tan∠MCD的值，即可求得異面直線MC與AB所成角的大�。�
（3）用反證法，假設(shè)P點在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在點C上，則PA為Rt△PCA的斜邊，可得PA＞AC，由已知可解得AC=$\sqrt{2}a$＞a=PA，從而推得矛盾，證明P點在底面ABCD中的射影不可能恰好落在點C上．

解答 解：（1）在PC上取中點N，M為PD的中點．則MN∥DC，
又ABCD是正方形，可得DC∥AB，
從而可得：MN∥AB．
（2）∵AB∥DC，
∴∠MCD即為所求，
若點P在平面ABCD上的射影是點D，PD=AB=a（a是正常數(shù)），
故有PD⊥DC，
∴由△MCD中，tan∠MCD=$\frac{MD}{CD}$=$\frac{\frac{a}{2}}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得：∠MCD=arctan$\frac{1}{2}$．
（3）假設(shè)P點在底面ABCD中的射影是否可能恰好落在點C上，則PC⊥平面ABCD，既有PA為Rt△PCA的斜邊，故PA＞AC，
∵PA=AB=a（a是正常數(shù)），又ABCD是正方形，
∴可解得：AC=$\sqrt{2}a$＞a=PA，故矛盾．
所以P點在底面ABCD中的射影不可能恰好落在點C上．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的性質(zhì)，異面直線及其所成的角，考查了空間想象能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基本知識的考查．