Question

7．已知f（x）=x²-a|x-1|．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要求證明）；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入，將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對a進行分類討論，可得f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值g（a）的表達式．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x-1，x＜1\\{x}^{2}-x+1，x≥1\end{array}\right.$．
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$），
單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+ax-a，x＜1\\{x}^{2}-ax+a，x≥1\end{array}\right.$，
若-$\frac{a}{2}$≤-2，則$\frac{a}{2}$≥2，a≥4，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上為增函數(shù)，在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，
由f（0）=-a，f（2）=4-a，故g（a）=f（0）=-a，
若-2＜-$\frac{a}{2}$＜-1，則1＜$\frac{a}{2}$＜2，2＜a＜4，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]，[$\frac{a}{2}$，2]上為增函數(shù)，在區(qū)間[1，$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù)，
由f（0）=-a，f（$\frac{a}{2}$）=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，故g（a）=f（0）=-a，
若-1≤-$\frac{a}{2}$≤0，則0≤$\frac{a}{2}$≤1，0≤a≤2，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上為增函數(shù)，
故g（a）=f（0）=-a，
若0＜-$\frac{a}{2}$＜1，則-1＜$\frac{a}{2}$＜0，-2＜a＜0，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{a}{2}$，2]上為增函數(shù)，在區(qū)間[0，-$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù)，
故g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
若1≤-$\frac{a}{2}$≤2，則-2≤$\frac{a}{2}$≤-1，-4≤a≤-2，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，
故g（a）=f（1）=1，
若-$\frac{a}{2}$＞2，則$\frac{a}{2}$＜-2，a＜-4，此時函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，在[1，2]上為增函數(shù)，
故g（a）=f（1）=1，
綜上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}1，a≤-2\\-\frac{1}{4}{a}^{2}-a，-2＜a＜0\\-a，a≥0\end{array}\right.$

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．