分析 (1)將a=1代入,將函數(shù)解析式化為分段函數(shù)的形式,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),對a進(jìn)行分類討論,可得f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值g(a)的表達(dá)式.
解答 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x2-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x-1,x<1\\{x}^{2}-x+1,x≥1\end{array}\right.$.
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-$\frac{1}{2}$),
單調(diào)遞增區(qū)間為(-$\frac{1}{2}$,+∞);
(2)f(x)=x2-a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+ax-a,x<1\\{x}^{2}-ax+a,x≥1\end{array}\right.$,
若-$\frac{a}{2}$≤-2,則$\frac{a}{2}$≥2,a≥4,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上為增函數(shù),在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),
由f(0)=-a,f(2)=4-a,故g(a)=f(0)=-a,
若-2<-$\frac{a}{2}$<-1,則1<$\frac{a}{2}$<2,2<a<4,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1],[$\frac{a}{2}$,2]上為增函數(shù),在區(qū)間[1,$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù),
由f(0)=-a,f($\frac{a}{2}$)=a-$\frac{{a}^{2}}{4}$,故g(a)=f(0)=-a,
若-1≤-$\frac{a}{2}$≤0,則0≤$\frac{a}{2}$≤1,0≤a≤2,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上為增函數(shù),
故g(a)=f(0)=-a,
若0<-$\frac{a}{2}$<1,則-1<$\frac{a}{2}$<0,-2<a<0,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[-$\frac{a}{2}$,2]上為增函數(shù),在區(qū)間[0,-$\frac{a}{2}$]上為減函數(shù),
故g(a)=f(-$\frac{a}{2}$)=-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$,
若1≤-$\frac{a}{2}$≤2,則-2≤$\frac{a}{2}$≤-1,-4≤a≤-2,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上為減函數(shù),在[1,2]上為增函數(shù),
故g(a)=f(1)=1,
若-$\frac{a}{2}$>2,則$\frac{a}{2}$<-2,a<-4,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上為減函數(shù),在[1,2]上為增函數(shù),
故g(a)=f(1)=1,
綜上所述:g(a)=$\left\{\begin{array}{l}1,a≤-2\\-\frac{1}{4}{a}^{2}-a,-2<a<0\\-a,a≥0\end{array}\right.$
點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),分類討論思想,難度中檔.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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