Question

10．已知函數f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx．
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）在給出的直角坐標系中，畫出函數f（x）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式進行化簡整理求得函數的解析式，進而根據正弦函數的單調性求得單調增區(qū)間；
（2）利用左加右減，上加下減的原則，將函數y=sinx縱坐標不變，橫坐標縮小到$\frac{1}{2}$倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），橫坐標不變，縱坐標擴大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），即可得出結論．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{1}{2}$sin2x
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，函數單調增，
∴函數的單調增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]（k∈Z）．
（2）由函數y=sinx縱坐標不變，橫坐標縮小到$\frac{1}{2}$倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數y=sin（2x+$\frac{π}{3}$），橫坐標不變，縱坐標擴大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），

點評 本題主要考查了三角函數的基本性質和三角函數的圖象變換．考查了學生對基礎知識點綜合運用．