Question

12．已知f（x）=|x-2|+|x+1|+2|x+2|．
（1）求證：f（x）≥5；
（2）若對任意實(shí)數(shù)x，15-2f（x）＜a²+$\frac{9}{{{a^2}+1}}$都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關(guān)于f（x）的分段函數(shù)，從而求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-4x-3，x≤-2\\ 5，-2＜x≤-1\\ 2x+7，-1＜x≤2\\ 4x+3，x＞2\end{array}\right.$，
∴f（x）的最小值為5，∴f（x）≥5．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：15-2f（x）的最大值等于5．…（7分）
∵${a^2}+\frac{9}{{{a^2}+1}}=（{{a^2}+1}）+\frac{9}{{{a^2}+1}}-1≥2\sqrt{（{{a^2}+1}）×\frac{9}{{{a^2}+1}}}-1=5$，
“=”成立$?（{{a^2}+1}）=\frac{9}{{{a^2}+1}}$，即$a=±\sqrt{2}$，
∴當(dāng)$a=±\sqrt{2}$時(shí)，${a^2}+\frac{9}{{{a^2}+1}}$取得最小值5．
當(dāng)$a≠±\sqrt{2}$時(shí)，${a^2}+\frac{9}{{{a^2}+1}}＞5$，
又∵對任意實(shí)數(shù)x，$15-2f（x）＜{a^2}+\frac{9}{{{a^2}+1}}$都成立，
∴$a≠±\sqrt{2}$．∴a的取值范圍為$a≠±\sqrt{2}$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．