Question

已知x，y滿足約束條件

(1)求目標函數(shù)z＝2x－y的最大值和最小值；

(2)若目標函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，求a的值；

(3)求z＝x2＋y2的取值范圍．

 

Answer 1

（1）zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.

（2）a＝.

（3）[，34]

【解析】【解析】
(1)作出不等式組表示的可行域如圖：

作直線l：2x－y＝0，并平行移動使它過可行域內(nèi)的B點，此時z有最大值；過可行域內(nèi)的C點，此時z有最小值，

解，得A(1，)．

解，得B(5,3)．

解，得C(1，)．

∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.

(2)一般情況下，當(dāng)z取得最大值時，直線所經(jīng)過的點都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線z＝ax＋y平行于直線3x＋5y＝30時，線段BC上的任意一點均使z取得最大值，此時滿足條件的點即最優(yōu)解，有無數(shù)個．

又kBC＝－，∴－a＝－，∴a＝.

(3)z＝x2＋y2，則為(x，y)與原點(0,0)的距離，結(jié)合不等式的區(qū)域，易知A點到原點距離最小為，最大值為|OB|、|OC|、原點O到直線3x＋5y＝30距離三者之一，計算得，最大值為|OB|＝.故z＝x2＋y2的取值范圍是[，34]．