Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax³+2x²-a²x+b²在x=1處取得極大值，
（1）求a的值及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在區(qū)間[0，2]上恰有三個(gè)解，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，由f（x）在x=1處取得極大值，知f′（1）=3a+4-a²=0，由此能求出a，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出f（0）=f（1）=b²，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{7}{27}$+b²，f（2）=-2+b²，利用關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在區(qū)間[0，2]上恰有三個(gè)解，即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+2x²-a²x+b²，
∴f′（x）=3ax²+4x-a²，
∵f（x）=ax³+2x²-a²x+b²在x=1處取得極大值，
∴f′（1）=3a+4-a²=0，
解得a=-1或a=4，
經(jīng)驗(yàn)證只有a=-1符合在x=1處取得極大值，
∴a=-1．f′（x）=-（x-1）（3x-1），
由f′（x）＞0，可得$\frac{1}{3}$＜x＜1，由f′（x）＜0，可得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，1），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）；
（2）由（1），f（0）=f（1）=b²，f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{4}{27}$+b²，f（2）=-2+b²，
∵關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{4}{9}$b在區(qū)間[0，2]上恰有三個(gè)解，
∴-$\frac{4}{27}$+b²＜$\frac{4}{9}$b＜b²，
∴-$\frac{2}{9}$＜b＜0或$\frac{4}{9}$＜b＜$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．易錯(cuò)點(diǎn)是容易產(chǎn)生增根．