Question

9．已知a≥0，b≥0，a+b=1，求a⁴+b⁴的范圍$[\frac{1}{8}，1]$．

Answer 1

分析 a≥0，b≥0，a+b=1，又（a+b）²≤2（a²+b²），（a²+b²）²≤2（a⁴+b⁴），可得a⁴+b⁴≥$\frac{1}{8}$，另一方面a⁴+b⁴≤（a+b）⁴，即可得出a⁴+b⁴的范圍．

解答 解：∵a≥0，b≥0，a+b=1，
又（a+b）²≤2（a²+b²），（a²+b²）²≤2（a⁴+b⁴），
∴a⁴+b⁴≥$\frac{1}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時取等號．
又a⁴+b⁴≤（a+b）⁴=1，當(dāng)a=1，b=0或a=0，b=1時取等號．
∴a⁴+b⁴的范圍是$[\frac{1}{8}，1]$．
故答案為：$[\frac{1}{8}，1]$．

點評 本題考查了不等式的基本性質(zhì)、重要不等式的性質(zhì)、乘法公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．