Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*），則a_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由已知利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n-a_n-1=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$
=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
故答案為：2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．