Question

5．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F₂，M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）是雙曲線C上的點(diǎn)，N（-x₀，-y₀），連接MF₂并延長MF₂交雙曲線C于P，連接NF₂，PN，若△NF₂P是以∠NF₂P為頂角的等腰直角三角形，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）

• A． y=±2x
• B． y=±4x
• C． y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x
• D． y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$x

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁，并連接MF₁，MF₂，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性及條件便知四邊形F₁NF₂M為矩形，可設(shè)MF₂=x，并連接PF₁，這樣根據(jù)雙曲線的定義及平行四邊形對(duì)邊相等即可得出MF₁=2a+x，MP=2a+2x，PF₁=4a+x，這樣根據(jù)直角三角形的邊的關(guān)系即可得到$\left\{\begin{array}{l}{（2a+x）^{2}+{x}^{2}=4{c}^{2}}&{①}\\{（2a+x）^{2}+（2a+2x）^{2}=（4a+x）^{2}}&{②}\end{array}\right.$，這樣可以由②解出x，帶入①中便可得到a，b，c的關(guān)系，根據(jù)c²=a²+b²即可得出$\frac{a}$的值，從而便得出漸近線方程．

解答 解：如圖，設(shè)F₁為雙曲線左焦點(diǎn)，連接MF₁，NF₁，則：
由對(duì)稱性可知四邊形F₁NF₂M為平行四邊形；
又∠MF₂N=90°；
∴F₁NF₂M為矩形；
設(shè)MF₂=x，則MF₁=2a+x；
∴PF₂=NF₂=MF₁=2a+x；
∴PF₁=2a+PF₂=4a+x；
在Rt△MF₁F₂中有：（2a+x）²+x²=4c² ①；
在Rt△MF₁P中有：（2a+x）²+（2a+2x）²=（4a+x）² ②；
由②解得，x=a，代回①得：9a²+a²=4c²；
∴${c}^{2}=\frac{5}{2}{a}^{2}$；
∴$^{2}={c}^{2}-{a}^{2}=\frac{3}{2}{a}^{2}$；
∴$\frac{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴漸近線方程為：y=$±\frac{a}x=±\frac{\sqrt{6}}{2}x$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線的對(duì)稱性，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的焦點(diǎn)，以及雙曲線的定義，直角三角形的邊的關(guān)系，c²=a²+b²，雙曲線的漸近線方程．