Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{3m}$=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2，0）．
（1）求雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長；
（2）若M（4，0），點(diǎn)N（x，y）是雙曲線上的任意一點(diǎn)，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件便得到，c=2，而4m=4，這樣即可求出雙曲線的實(shí)軸及虛軸長；
（2）先寫出雙曲線的方程${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并且知道x≤-1，或x≥1，兩點(diǎn)間距離公式表示出$|MN|=\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$，然后由雙曲線方程解出y²并帶入上式，從而配方法求二次函數(shù)的最小值即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件c=2，4m=4；
∴m=1；
∴雙曲線的實(shí)軸長為$2\sqrt{m}=2$，虛軸長為2$\sqrt{3m}$=$2\sqrt{3}$；
（2）${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，x≤-1，或x≥1；
∴$|MN|=\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+3{x}^{2}-3}$=$\sqrt{4（x-1）^{2}+9}$；
∴x=1時(shí)，|MN|取到最小值3；
即|MN|的最小值為3．

點(diǎn)評(píng) 考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，c²=a²+b²，雙曲線的焦點(diǎn)、實(shí)軸及虛軸的概念，兩點(diǎn)間距離公式，以及配方法求二次函數(shù)的最值，注意寫出該題中的x的范圍．