Question

已知奇函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，且f（2）=0，則不等式（x-1）•f（x-1）＞0的解集是（　�。�

• A、（-1，3）
• B、（-∞，-1）
• C、（-∞，-1）∪（3，+∞）
• D、（-1，1）∪（1，3）

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)函數(shù)f（x）的奇偶性以及函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性，判斷函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性，再把不等式（x-1）f（x-1）＞0變形為兩個(gè)不等式組，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分情況解兩個(gè)不等式組，所得解集求并集即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且在（-∞，0）上單調(diào)增，
∴f（x）在（0，+∞）上也單調(diào)遞增，
∴（x-1）f（x-1）＞0可變形為

x-1＞0 f(x-1)＞0

  ①
或

x-1＜0 f(x-1)＜0

  ②
又∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且f（2）=0，∴f（-2）=-f（2）=0
∴不等式組①的解為

x-1＞0 x-1＞2

即x＞3；
不等式組②的解為

x-1＜0 x-1＞-2

，即-1＜x＜1
∴不等式（x-1）f（x-1）＞0的解集為（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故答案為：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查綜合運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，研究此類(lèi)題最好作出函數(shù)圖象輔助判斷．