Question

【題目】已知橢圓 的左，右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 過F1任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與C交于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長為8．當(dāng)直線AB的斜率為 時(shí)，AF2與x軸垂直． （I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，總能使MF1平分∠AMB？說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由橢圓的定義可知△ABF2的周長4a=8，則a=2，

由直線AB的斜率為 時(shí)，AF2與x軸垂直，則tan∠AF1F2= = = ，

則b2=3c，由b2=a2﹣c2=4﹣c2，

則b= ，c=1，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ；

（Ⅱ）方法一：假設(shè)存在點(diǎn)（m，0），使MF1平分∠AMB，

由直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=1，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

假設(shè)存在m，由x軸平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，

即 + =0，

k（x1+1）（x2﹣m）+k（x2+1）（x1﹣m）=0，

∴2x1x2﹣（m﹣1）（x1+x2）﹣2m=0，

∴8k2﹣24+8k2m﹣8k2﹣6m﹣8mk2=0，

解得：m=﹣4．

故存在點(diǎn)M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB．

方法二：假設(shè)存在點(diǎn)（m，0），使MF1平分∠AMB，

由（I）可知：F1（﹣1，0），設(shè)直線AB為x=ty﹣1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，

則y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

假設(shè)存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，

∴ + =0，即y1（x1﹣m）+y2（x1﹣m）=0，

即y1（ty2﹣1）+y2（ty1﹣1）﹣m（y1+y2）=0，

∴2ty1y2﹣（1+m）（y1+y2）=0，

2t×（﹣ ）﹣（1﹣m）（ ）=0，則1+m=﹣3，

解得：m=﹣4，

故存在點(diǎn)M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB

【解析】（I）由題意可知：4a=8，則a=2，由題意可知：tan∠AF1F2= = = ，即可求得b的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）方法一：假設(shè)存在點(diǎn)（m，0），使MF1平分∠AMB，設(shè)直線l方程y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值；方法二：設(shè)直線AB為x=ty﹣1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值．