Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}前5項(xiàng)和為50，a7=22，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ， b1=1，bn+1=3Sn+1． （Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{cn}滿足 ，n∈N* ， 求c1+c2+…+c2017的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．

依題意得 ，

解得a1=4，d=3，

所以an=a1+（n﹣1）d=3n+1．

當(dāng)n=1時(shí)，b2=3b1+1=4，

當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1=3Sn+1，bn=3Sn﹣1+1，

以上兩式相減得bn+1﹣bn=3bn，則bn+1=4bn，

又b2=4b1，所以bn+1=4bn，n∈N*．

所以{bn}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，

所以 ．

（Ⅱ）因?yàn)? ，n∈N*

當(dāng)n≥2時(shí)， ，

以上兩式相減得 ，所以 ，n≥2．

當(dāng)n=1時(shí)， ，所以c1=a2b1=7，不符合上式，

所以c1+c2+…+c2017=7+3（4+42+…+42016）=

【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可首項(xiàng)和公差，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得所以{bn}為首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（II）根據(jù)數(shù)列的遞推公式先求出{cn}的通項(xiàng)公式，再分組求和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．