Question

9．已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞0）與直線l：y=x+3，且直線l有唯一的一個點P，使得過P點作圓C的兩條切線互相垂直，則r=2；設EF是直線l上的一條線段，若對于圓C上的任意一點Q，∠EQF≥$\frac{π}{2}$，則|EF|的最小值=4$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 ①設兩個切點分別為A、B，由題意得四邊形PACB為正方形，圓心C到直線y=x+3的距離等于PC，由此求得r的值；
②根據(jù)題意，得出從圓上任一點Q向直線上的兩點連線成角，所成角最小時對應的點Q的位置，結合∠EQF的值求出|EF|的最小值．

解答 解：①∵圓心為C（1，0），半徑為r；
設兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，
∴PC=$\sqrt{2}$r，
∴圓心C到直線y=x+3的距離等于PC=$\sqrt{2}$r，
即$\frac{|1-0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r，
解得r=2；
②由題意，圓心C（1，0）到直線l：y=x+3的距離為2$\sqrt{2}$＞2（半徑），
所以直線l和圓相離；
從圓上任一點Q向直線上的兩點連線成角，當且僅當點Q在如圖所示的位置時，∠EQF最小，
又∠EQF≥$\frac{π}{2}$，得∠EQP≥$\frac{π}{4}$；
∴PE≥PQ=PC+CQ=2$\sqrt{2}$+2，
∴EF≥2PQ=4$\sqrt{2}$+4；
即|EF|的最小值為4$\sqrt{2}$+4．
故答案為：2；4$\sqrt{2}$+4．

點評 本題主要考查了直線和圓的位置關系以及點到直線的距離公式的應用問題，體現(xiàn)了轉化思想，是難題．