Question

3．試判斷函數(shù)y=$\sqrt{1-x}$在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的解析式求出定義域，利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在定義域是單調(diào)減函數(shù)．

解答 解：由1-x≥0得，x≤1，
所以函數(shù)y=$\sqrt{1-x}$的定義域是（-∞，1]；
且函數(shù)y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在（-∞，1]上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{1{-x}_{1}}$-$\sqrt{1{-x}_{2}}$
=$\frac{（1{-x}_{1}）-（1{-x}_{2}）}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$
=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$，
∵x₁＜x₂≤1，∴x₂-x₁＞0，$\sqrt{1{-x}_{1}}$+$\sqrt{1{-x}_{2}}$＞0，
∴$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{\sqrt{1{-x}_{1}}+\sqrt{1{-x}_{2}}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)y=f（x）=$\sqrt{1-x}$在（-∞，1]上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域求法，以及根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行證明，即取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，對(duì)于解析式中出現(xiàn)根號(hào)往往需要進(jìn)行有理化