Question

20．下列說法：
①y=tanx在其定義域內(nèi)為增函數(shù)；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$的最小正周期為π．
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是$（{-∞，\frac{6}{5}}）$；
④函數(shù)y=a+2•2^x+4^x在x∈（-∞，1]上y＜0恒成立，則a＜-8．
其中正確的是④．（寫出所有正確答案）

Answer 1

分析 由正切函數(shù)的性質(zhì)判斷①；寫出分段函數(shù)判斷②；舉例說明③錯誤；利用分離參數(shù)法求出a的范圍判斷④．

解答 解：①y=tanx在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，但由無數(shù)多個增區(qū)間，故①錯誤；
②$y=sin|{2x+\frac{π}{6}}|$=$\left\{\begin{array}{l}{sin（2x+\frac{π}{6}），x≥-\frac{π}{12}}\\{-sin（2x+\frac{π}{6}），x＜-\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，該函數(shù)不是周期函數(shù)，故②錯誤；
③已知$\overrightarrow a=（2，λ）$，$\overrightarrow b=（-3，5）$，$λ=-\frac{10}{3}$∈$（{-∞，\frac{6}{5}}）$，此時$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$共線反向，故③錯誤；
④由y＜0恒成立，得a+2•2^x+4^x＜0在x∈（-∞，1]上恒成立，即a＜-2^2x-2•2^x在x∈（-∞，1]上恒成立．
由x∈（-∞，1]，得0＜2^x≤2，∴-2^2x-2•2^x∈[-8，0），則a＜-8，故④正確．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查向量共線的條件，訓練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．