Question

5．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分線，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則∠C=90°．

Answer 1

分析 根據(jù)角平線的性質(zhì)，可設BD=2x，CD=x，然后結(jié)合余弦定理列方程解x，然后利用余弦定理求解C即可．

解答 解：因為AD是∠A的平分線，所以$\frac{c}$=$\frac{BD}{CD}$，
不妨設BD=2x，CD=x，
結(jié)合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
在△ABD中由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，
即：4x²=4+$\frac{4}{3}$-2×$2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos∠BAD，…①
在△ACD中，由余弦定理可得CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠CAD，
即：x²=1+$\frac{4}{3}$-2×$1×\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos∠BAD…②，
①-②×2，可得：
2x²=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
解得：x²=$\frac{1}{3}$．
在△ADC則，cosC=$\frac{A{C}^{2}+C{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AC•CD}$=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}{2×1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=0．
∠C=90°．
故答案為：90°．

點評 本題考查了解三角形的有關(guān)知識和方法，解題的關(guān)鍵是角平分線的性質(zhì)以及利用兩個角相等結(jié)合余弦定理列出方程求解．