Question

5．在△ABC中，已知b=1，c=2，AD是∠A的平分線，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則∠C=90°．

Answer 1

分析 根據(jù)角平線的性質，可設BD=2x，CD=x，然后結合余弦定理列方程解x，然后利用余弦定理求解C即可．

解答 解：因為AD是∠A的平分線，所以$\frac{c}$=$\frac{BD}{CD}$，
不妨設BD=2x，CD=x，
結合已知得cos∠BAD=cos∠CAD，
在△ABD中由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，
即：4x²=4+$\frac{4}{3}$-2×$2×\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos∠BAD，…①
在△ACD中，由余弦定理可得CD²=AC²+AD²-2AC•ADcos∠CAD，
即：x²=1+$\frac{4}{3}$-2×$1×\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos∠BAD…②，
①-②×2，可得：
2x²=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
解得：x²=$\frac{1}{3}$．
在△ADC則，cosC=$\frac{A{C}^{2}+C{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AC•CD}$=$\frac{1+\frac{1}{3}-\frac{4}{3}}{2×1×\frac{\sqrt{3}}{3}}$=0．
∠C=90°．
故答案為：90°．

點評 本題考查了解三角形的有關知識和方法，解題的關鍵是角平分線的性質以及利用兩個角相等結合余弦定理列出方程求解．