Question

設各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2a₂=a₁+a₃，數列

sn

是公差為1的等差數列．數列{b_n}滿足：b_n=

1

2

，b_n+1=

n+1

2n

b_n．求數列{a_n}，{b_n}的通項公式及前n項和．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：根據等差數列的通項公式，結合已知，列出關于a₁、d的方程，求出a₁，進而推出S_n，再利用a_n與S_n的關系求出a_n．
設b_n=nc_n（n∈N^*）．根據等比數列的定義證明數列{c_n}是等比數列，首項為

1

2

，公比為

1

2

，即可求等比數列的通項公式，可得b_n=nc_n=

n

2n

，利用“錯位相減法”即可得到T_n．

解答： 解：由題意知：d＞0，

Sn

=

a1

+（n-1）d，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴3a₂=S₃，即3（S₂-S₁）=S₃，
∴3[（

a1

+d）²-a₁]=（

a1

+2d）²，
化簡，得：

a1

=d，
∴

Sn

=nd，S_n=n²d²，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²d²-（n-1）²d²=（2n-1）d²，適合n=1情形．
故所求a_n=（2n-1）d²．
設b_n=nc_n（n∈N^*）．
由b_n+1=

n+1

2n

b_n，可得

cn+1

cn

=

1

2

．
∴數列{c_n}是等比數列，首項為

1

2

，公比為

1

2

，
∴c_n=

1

2n

．
∴b_n=nc_n=

n

2n

．
∴T_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．

點評：本小題主要考查等差數列的通項、求和；考查等比數列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．