Question

13．已知圓x²+y²-4x+2y-3=0和圓外一點(diǎn)M（4，-8），
（Ⅰ）過(guò)M作圓的割線交圓與A、B兩點(diǎn)，若|AB|=4，求直線AB的方程．
（Ⅱ）過(guò)M作圓的切線，切點(diǎn)為C、D，求切線的長(zhǎng)及CD所在的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）先將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心O和半徑，再根據(jù)弦長(zhǎng)為4，結(jié)合垂徑定理得到圓心到直線AB的距離，則就可以利用點(diǎn)到直線的距離公式求出直線AB的斜率，問(wèn)題獲解；
（2）利用切線的性質(zhì)可知，切線長(zhǎng)、半徑、M點(diǎn)到圓心距離滿足勾股定理，則切線長(zhǎng)可求；求出以PM為直徑的圓，與已知圓的方程兩式相減即可得到CD所在直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）圓的方程可化為（x-2）²+（y+1）²=8，
圓心為P（2，-1），半徑r=2$\sqrt{2}$
①若割線斜率存在，設(shè)y+8=k（x-4），即kx-y-4k-8=0
設(shè)AB的中點(diǎn)為N，則|PN|=$\frac{|2k+7|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
由|PN|²+（$\frac{|AB|}{2}$）²=r²，得k=-$\frac{45}{28}$，故AB的方程為45x+28y+44=0
②若割線斜率不存在，則AB的方程為x=4，
代入圓的方程得y²+2y-3=0，y=1或-3，符合題意．
綜上，直線AB的方程為45x+28y+44=0或x=4   …（6分）
（Ⅱ）切線長(zhǎng)為$\sqrt{|PM{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{4+49-8}$=3$\sqrt{5}$
以PM為直徑的圓的方程為（x-2）（x-4）+（y+1）（y+8），即x²+y²-6x+9y+16=0
又已知圓的方程為x²+y²-4x+2y-3=0，兩式相減得2x-7y-19=0，
所以直線CD的方程為2x-7y-19=0．           …（12分）

點(diǎn)評(píng) 有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題一般會(huì)用到垂徑定理，側(cè)重考查圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．