Question

11．在平面幾何中，已知三角形ABC的面積為S，周長為L，求三角形內(nèi)切圓半徑時，可用如下方法，設(shè)圓O為內(nèi)切圓圓心，則S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$r|AB|+$\frac{1}{2}$r|BC|+$\frac{1}{2}$r|AC|=$\frac{1}{2}$rL，∴r=$\frac{2S}{L}$
類比此類方法，已知三棱錐的體積為V，表面積為S，各棱長之和為L，則內(nèi)切球半徑r為（　�。�

• A． $\frac{2V}{S}$
• B． $\frac{2V}{L}$
• C． $\frac{3V}{S}$
• D． $\frac{3V}{L}$

Answer 1

分析 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點類比點或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可．

解答 解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點，
分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V=$\frac{1}{3}$Sr
猜想：三棱錐的體積為V，表面積為S，各棱長之和為L，
則四面體ABCD的內(nèi)切球半徑r=$\frac{3V}{S}$
故選：C．

點評 本題主要考查類比推理．類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（或猜想）．