Question

1．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=BC=3，CD=3$\sqrt{2}$，E為PB中點．
（Ⅰ）求三棱錐P-BCD的體積；
（Ⅱ）求證：CE⊥平面PBD；
（Ⅲ）設(shè)M是線段CD上一點，且滿足DM=2MC，試在線段PB上確定一點N，使得MN∥平面PAD，并求出BN的長．

Answer 1

分析 （I）由于平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，BC⊥CD，可得BC⊥平面PCD．再利用三棱錐的體積計算公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，可得BC⊥PD．進而得到PD⊥平面PBC．可得PD⊥CE，再利用線面垂直的判定定理及其性質(zhì)定理即可證明．
（Ⅲ）在面PCD上，過M作MF∥PD交PC于F．在面PBC上，過F作FN∥BC交PB于N，連接MN．可得MF∥平面PAD．得到FN∥平面PAD．平面MNF∥平面PAD．從而，MN∥平面PAD．N為線段PB上靠近點B的三等分點，再利用等腰直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答 （Ⅰ）解：由已知PD=PC=3，$CD=3\sqrt{2}$可知，
△PCD是等腰直角三角形，∠CPD=90°．
∵平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD．
三棱錐P-BCD的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△PCD}}×BC=\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}PC×PD）×BC=\frac{9}{2}$．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PD．
∵∠CPD=90°，即PD⊥PC，
∴PD⊥平面PBC．
∵CE?平面PBC，
∴PD⊥CE．
∵PC=BC，E為PB中點，
∴CE⊥PB，
∵PD∩PB=P，
∴CE⊥平面PBD．
（Ⅲ）解：在面PCD上，過M作MF∥PD交PC于F．
在面PBC上，過F作FN∥BC交PB于N，連接MN．
∵MF∥PD，MF?平面PAD，PD?平面PAD，
∴MF∥平面PAD．
∵FN∥BC∥AD，F(xiàn)N?平面PAD，AD?平面PAD，
∴FN∥平面PAD．
∴平面MNF∥平面PAD．
從而，MN∥平面PAD．
由所作可知，△CMF為等腰直角三角形，$CM=\sqrt{2}$，
∴CF=1，PF=2．
△PNF，△PBC均為等腰直角三角形，
∴$PN=2\sqrt{2}$，$PB=3\sqrt{2}$．
∴N為線段PB上靠近點B的三等分點，且$BN=\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、矩形的性質(zhì)、線面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式、平行線分線段成比例定理在三角形中的應(yīng)用、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．