Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+（x-1）|x-a|，若函數(shù)f（x）在[2，3]最小值為6，求a的值．

Answer 1

分析 根據(jù)a的取值范圍，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行確定函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：f（x）=x²+（x-1）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（a+1）x+a，}&{x≥a}\\{（a+1）x-a，}&{x＜a}\end{array}\right.$，
∵2≤x≤3，
∴當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）=x²+（x-1）|x-a|=2x²-（a+1）x+a，此時(shí)對(duì)稱軸為x=$\frac{a+1}{4}$＜2，
∴函數(shù)f（x）在[2，3]最小值為f（2）=6-a=6，解得a=0，
當(dāng)2＜a＜3時(shí)，當(dāng)x＞a時(shí)，對(duì)稱軸為x=$\frac{a+1}{4}$＜2，函數(shù)f（x）在[2，3]最小值為f（2）=6-a=6，
解得a=0此時(shí)不成立，
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=（a+1）x-a，此時(shí)函數(shù)f（x）在[2，3]最小值為f（2）=2a+2-a=a+2=6，
解得a=4不成立
當(dāng)a＞3時(shí)，f（x）=（a+1）x-a，此時(shí)函數(shù)f（x）在[2，3]最小值為f（2）=2a+2-a=a+2=6，
解得a=4成立，
綜上a=0或a=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，以及分段函數(shù)的求解，綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．