Question

12．在如圖所示的一塊形狀為四棱柱的木料中，側(cè)面AB-CD⊥底面ABB₁A₁；側(cè)面ABCD是邊長為4的菱形，且∠DAB=60°；底面ABB₁A₁是直角梯形，其中∠A₁AB=90°，AA₁∥BB₁，AA₁=3，BB₁=1；P為面A₁C₁內(nèi)的點(diǎn)．
（Ⅰ）為了經(jīng)過點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？請說明理由；
（Ⅱ）若P為A₁C₁的中點(diǎn)，求按照（Ⅰ）的要求將木料鋸開后較大木塊的體積．

Answer 1

分析 （I）在平面A₁C₁內(nèi)過點(diǎn)P畫MN∥B₁C₁，分別與棱A₁B₁，C₁D₁相交于點(diǎn)M，N，連接BM，CN．利用線面平行的判定定理可得：M，N，P與BC共面．
（II）將木料鋸開后較大木塊為四棱柱AA₁MB-DD₁NC，若P為A₁C₁的中點(diǎn)，則M為棱A₁B₁的中點(diǎn)．取AB的中點(diǎn)H，連接DH．四邊形ABCD是邊長為4的菱形，且∠DAB=60°．利用余弦定理可得DH，可得DH⊥AB．利用面面垂直的判定定理：DH⊥平面ABB₁A₁，利用${V}_{A{A}_{1}MB-D{D}_{1}NC}$=$\frac{1}{3}$${S}_{A{A}_{1}MB}•DH$．

解答 解：（I）在平面A₁C₁內(nèi)過點(diǎn)P畫MN∥B₁C₁，分別與棱A₁B₁，C₁D₁相交于點(diǎn)M，N，連接BM，CN．
∵四棱柱中，B₁C₁∥BC，
∴MN∥BC，
∴M，N，P與BC共面，即所畫的線段MN，BM，CN，都與P，BC在同一個平面內(nèi)．
（II）將木料鋸開后較大木塊為四棱柱AA₁MB-DD₁NC，
若P為A₁C₁的中點(diǎn)，則M為棱A₁B₁的中點(diǎn)．
${S}_{A{A}_{1}MB}$=${S}_{A{A}_{1}{B}_{1}B}$-${S}_{M{B}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×（3+1）×4-\frac{1}{2}×1×2$=7，
取AB的中點(diǎn)H，連接DH．
∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，且∠DAB=60°．
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}+A{H}^{2}-2AD•AHcos∠DAH}$=$2\sqrt{3}$，
∵AD²=AH²+DH²，
∴DH⊥AB．
∵側(cè)面ABCD⊥底面ABB₁A₁，側(cè)面ABCD∩底面ABB₁A₁=AB，
又DH⊥AB，DH?平面ABCD，
∴DH⊥平面ABB₁A₁，
∴${V}_{A{A}_{1}MB-D{D}_{1}NC}$=$\frac{1}{3}$${S}_{A{A}_{1}MB}•DH$=$\frac{1}{3}×7×2\sqrt{3}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了直三棱柱的性質(zhì)、線面平行與垂直的判定定理、菱形的性質(zhì)、四棱柱的體積計算公式、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．