Question

11．在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=10，且（2a₂+2）²=5a₁a₃
（1）求公差d及數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）若d＜0，求|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．由d＜0，可得a_n=11-n，S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．令a_n≥0，解得n≤11．當(dāng)n≤11時(shí)，T_n=S_n．當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=2S₁₁-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=10，且（2a₂+2）²=5a₁a₃，
∴[2（10+d）+2]²=50（10+2d），化為d²-3d-4=0，解得d=-1或d=4．
∴a_n=10-（n-1）=11-n，或a_n=10+4（n-1）=4n+6．
（2）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
∵d＜0，取d=-1，
∴a_n=11-n，
S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．
令a_n≥0，解得n≤11．
∴當(dāng)n≤11時(shí)，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}n$．
當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=2S₁₁-S_n=$2×\frac{11×（21-11）}{2}$-$（-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21n}{2}）$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n$+110．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、含絕對值數(shù)列求和問題，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．