Question

1．設(shè)兩個(gè)向量$\overrightarrow a$=（λ+2，λ²-cos²α），$\overrightarrow b$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），其中λ，m，α為實(shí)數(shù)．若$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，則m的取值范圍是[$\frac{1}{4}，2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，建立方程關(guān)系，消去參數(shù)λ，結(jié)合三角函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，
∴（λ+2，λ²-cos²α）=2（m，$\frac{m}{2}$+sinα），
即$\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2m}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}α=m+2sinα}\end{array}\right.$
消去參數(shù)λ得（2m-2）²=cos²α+m+2sinα，
即4m²-9m+2=-（sinα-1）²，
∵-4≤-（sinα-1）²≤0，
∴-4≤4m²-9m+2≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-9m+6≥0}\\{4{m}^{2}-9m+2≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m∈R}\\{\frac{1}{4}≤m≤2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤m≤2，
故答案為：[$\frac{1}{4}，2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的應(yīng)用以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和一元二次不等式的求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．