Question

14．如圖，三棱柱ABC-DEF的側(cè)面BEFC是邊長為1的正方形，側(cè)面BEFC⊥側(cè)面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥平面AGF；
（Ⅱ）求證：GB⊥平面BEFC；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使二面角P-GE-B為45°，若存在，求BP的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明CE∥平面AGF；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明GB⊥平面BEFC；
（Ⅲ）在建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合二面角的大小建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：連接CD與AF相交于H，則H為CD的中點(diǎn)，連接HG．
因?yàn)镚為DE的中點(diǎn)，
所以HG∥CE．
因?yàn)镃E?平面AGF，HG?平面AGF，
所以CE∥平面AGF．            
（Ⅱ）證明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=$\sqrt{3}$．
因?yàn)锽G²+BE²=GE²，
所以GB⊥BE．
因?yàn)閭?cè)面BEFC⊥側(cè)面ADEB，
側(cè)面BEFC∩側(cè)面ADEB=BE，
GB?平面ADEB，
所以GB⊥平面BEFC．                   
（Ⅲ）解：BG，BE，BC兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz．
假設(shè)在線段BC上存在一點(diǎn)P，使二面角P-GE-B為45°．
平面BGE的法向量m=（0，0，1），設(shè)P（0，0，λ），λ∈[0，1]．
$G（\sqrt{3}，0，0）$，E（0，1，0）．
所以$\overrightarrow{GP}$=（-$\sqrt{3}$，0，λ），$\overrightarrow{GE}=（-\sqrt{3}，1，0）$．
設(shè)平面PGE的法向量為n=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}n•\overrightarrow{GP}=0\\ n•\overrightarrow{GE}=0.\end{array}\right.$
所以$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+λz=0\\-\sqrt{3}x+y=0.\end{array}\right.$
令z=1，得y=λ，$x=\frac{λ}{{\sqrt{3}}}$，
所以PGE的法向量為$n=（\frac{λ}{{\sqrt{3}}}，λ，1）$．
因?yàn)閙•n=1，
所以$1×\sqrt{\frac{λ^2}{3}+{λ^2}+1}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1$，
解得$λ=\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[0，1]，故$BP=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
因此在線段BC上存在一點(diǎn)P，使二面角P-GE-B為45°，且$BP=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間直線和平面平行或垂直的判定，以及空間二面角的求解和應(yīng)用，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法是解決二面角的基本方法．