Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)和S₄=5，且4a₁$，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是首項(xiàng)為2，公差為-a₁的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為T_n，求滿足T_n-1＞0的最大正整數(shù)n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)$4{a_1}\;，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差數(shù)列可得公比q=2，利用${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=5$得${a_1}=\frac{1}{3}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過(guò)（Ⅰ）得公差，進(jìn)而可得通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的表達(dá)式，解不等式T_n-1＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè){a_n}的公比為q，
∵$4{a_1}\;，\;\frac{3}{2}{a_2}\;，\;{a_2}$成等差數(shù)列，
∴4a₁+a₂=3a₂．
整理得2a₁=a₂，即2a₁=a₁q，解得q=2．
又${S_4}=\frac{{{a_1}（1-{2^4}）}}{1-2}=5$，解得${a_1}=\frac{1}{3}$．
∴${a_n}=\frac{1}{3}×{2^{n-1}}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得-a₁=$-\frac{1}{3}$，
∴${b_n}=2+（n-1）（-\frac{1}{3}）=\frac{7-n}{3}$．
T_n=$\frac{{2+\frac{7-n}{3}}}{2}×n=\frac{（13-n）n}{6}$，
又∵T_n-1＞0，∴$\frac{[13-（n-1）]（n-1）}{6}＞0$，
整理得（n-1）（n-14）＜0，
解得1＜n＜14．
故滿足T_n-1＞0的最大正整數(shù)為13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)及求和等知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．