Question

13．已知定義在R上的函數f（x）滿足：①函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱；②對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；③當x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]時，f（x）=log₂（-3x+2），則f（2012）=-3．

Answer 1

分析 直接利用已知條件求出函數的周期，函數的奇偶性，利用函數的解析式求解所求的表達式的值．

解答 解：定義在R上的函數f（x）滿足：函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱；說明函數f（x）是奇函數．
即f（x）=-f（-x）．
對?x∈R，對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立；所以對?x∈R，對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）=-f（x-$\frac{3}{4}$）成立；可得f（3+x）=f（x），函數的周期為3，
∵當x∈[-$\frac{5}{2}$，-$\frac{7}{4}$]時，f（x）=log₂（-3x+2）．
∵函數是奇函數，
∴當x∈[$\frac{7}{4}$，$\frac{5}{2}$]時，f（x）=-log₂（3x+2）．
∴f（2012）=f（670×3+2）=f（2）=-log₂（3×2+2）=-3．
故答案為：-3．

點評 本題考查抽象函數的應用冪函數的奇偶數的判斷，函數的周期的考查與應用，考查轉化思想以及計算能力．