Question

（本小題滿分12分）橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為、離心率為，直線與y軸交于點P（0，），與橢圓C交于相異兩點A、B，且。

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

試題分析：第一問中由短軸長可以求出的值，根據(jù)橢圓的離心率，可以得出和的值，從而得出橢圓的方程，對于第二問，先將直線的方程設(shè)出來，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，設(shè)出兩個交點的坐標，根據(jù)向量的關(guān)系，得出兩個坐標之間的關(guān)系，從而得到方程兩個根之間的關(guān)系，再根據(jù)韋達定理，找出關(guān)于斜率和截距的關(guān)系式，由方程有兩個根，應(yīng)用判別式大于零，找出相應(yīng)的不等式，從而求出結(jié)果.

試題解析：（I）設(shè)C：設(shè)

由條件知，，

∴ 3分

故C的方程為： 4分

（Ⅱ）設(shè)與橢圓C交點為A（），B（）

由得

得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0

（*）

8分

∵ ∴ ∴

消去，得，∴

整理得 10分

時，上式不成立； 時，，

由（*）式得

因 ∴，∴或

即所求的取值范圍為 12分

考點：橢圓的方程，直線與橢圓相交問題的轉(zhuǎn)換，向量的坐標關(guān)系.