Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù) ，

使得 對任意的實數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)．

給出下列四個命題：

①若f（x）為非零的常值函數(shù)，則其為回旋函數(shù)的充要條件是t= -1;

②若 為回旋函數(shù)，則t>l;

③函數(shù) 不是回旋函數(shù)；

④若f（x）是t=1的回旋函數(shù)，則f（x）在[0,2015]上至少有2015個零點．

其中為真命題的是_________（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

①③④

【解析】

試題分析：①利用回旋函數(shù)的定義即可．②若指數(shù)函數(shù)為階數(shù)為t回旋函數(shù)，根據(jù)定義求解，得矛盾結(jié)論．③利用回旋函數(shù)的定義，令x=0，則必須有a=0；令x=1，則有 ，故可判斷；．④由定義得到f（x+1）=-f（x），由零點存在定理得，在區(qū)間（x，x+1）上必有一個零點令 ，即可得到．

對于①函數(shù)f（x）=2為回旋函數(shù)，則由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故結(jié)論正確；對于②，若指數(shù)函數(shù)為階數(shù)為t回旋函數(shù)，則 ，∴結(jié)論不成立；對于③若 對任意實數(shù)都成立，令x=0，則必須有a=0，令x=1，則有 ，顯然a=0不是這個方程的解，故假設(shè)不成立，該函數(shù)不是回旋函數(shù)，故結(jié)論正確，對于④：若若f（x）是t=1的回旋函數(shù)，則f（x+1）+f（x）=0對任意的實數(shù)x都成立，即有f（x+1）=-f（x），則f（x+1）與f（x）異號，由零點存在定理得，在區(qū)間（x，x+1）上必有一個零點，可令 ，則函數(shù)f（x）在[0，1]上至少存在2015個零點．故結(jié)論正確故答案為：①③④．

考點：函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

考點分析： 考點1：函數(shù)的表示法 試題屬性

• 題型：
• 難度：
• 考核：
• 年級：