Question

5．有7名同學(xué)站成一排，問：
（1）甲同學(xué)不能站在正中間，有多少種排法？
（2）甲、乙兩名同學(xué)不站在兩端，有多少種排法？
（3）甲、乙兩名同學(xué)不能相鄰，有多少種排法？
（4）甲同學(xué)必須站在乙同學(xué)的左邊（不一定相鄰），有多少種排法？
（注：本題需必要的解題過程，且最后結(jié)果要用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 （1）甲同學(xué)不能站在正中間，因而先排甲同學(xué)，然后再排其余六名同學(xué)，問題得以解決．
（2）甲、乙兩名同學(xué)不站在兩端，因而先排甲、乙兩同學(xué)，然后再排其余五名同學(xué)，問題得以解決．
（3）甲、乙兩名同學(xué)不能相鄰，因而先排除甲、乙兩名同學(xué)外的其余五名同學(xué)，然后再從六個空里選兩個空插入甲、乙兩名同學(xué)，問題得以解決．
（4）定序法，甲乙的順序只有兩種，7名同學(xué)站成一排，排法數(shù)為$A_7^7$，問題得以解決．

解答 解：（1）甲同學(xué)不能站在正中間，因而先排甲同學(xué)，然后再排其余六名同學(xué)，滿足條件的排法數(shù)為$A_6^1A_6^6=4320$ 種；
（2）甲、乙兩名同學(xué)不站在兩端，因而先排甲、乙兩同學(xué)，然后再排其余五名同學(xué)，滿足條件的排法數(shù)為$A_5^2A_5^5=2400$ 種；
（3）甲、乙兩名同學(xué)不能相鄰，因而先排除甲、乙兩名同學(xué)外的其余五名同學(xué)，然后再從六個空里選兩個空插入甲、乙兩名同學(xué)，滿足條件的排法數(shù)為$A_5^5A_6^2=3600$ 種；
（4）甲同學(xué)必須站在乙同學(xué)的左邊（不一定相鄰），7 名同學(xué)站成一排，排法數(shù)為$A_7^7$，其中甲同學(xué)站在乙同學(xué)的左邊和乙同學(xué)站在甲同學(xué)的左邊（不一定相鄰）的情況一一對應(yīng)，
各占其半，故滿足條件的排法總數(shù)為$\frac{A_7^7}{2}$=2520種．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意特殊問題的處理方法，如相鄰用捆綁法，不能相鄰用插空法，定序法，屬于中檔題．