Question

11．在正方體ABCD-A′B′C′D′中，過對角線BD'的一個平面交AA′于點E，交CC′于點F．則下列結(jié)論正確的是（　�。�
①四邊形BFD′E一定是平行四邊形    
②四邊形BFD′E有可能是正方形
③四邊形BFD′E在底面ABCD的投影一定是正方形
④四邊形BFD′E有可能垂于于平面BB′D．

• A． ①②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)一個面與兩個平行的面的交線一定平行的性質(zhì)證明出四邊形BFD′E一定是平行四邊形．
②先看F與C′重合，E與A點重合時不可能是正方形，在看不重合時BF和BE不可能垂直，進(jìn)而推斷結(jié)論不正確．
③四邊形BFD′E在底面ABCD的投影是正方體的底面，進(jìn)而可知，射影一定是正方形．
④找到E，F(xiàn)分別為中點時，利用證明EF⊥面BDD′B′，進(jìn)而證明出兩個面垂直．

解答 解：
①∵四邊形BFD′E與面BCC′B′的交線為BF，與面ADD′A′的交線為D′E，且面BCC′B′∥面ADD′A′的交線為D′E，
∴BF∥D′E，
同理可證明出BE∥D′F，
∴四邊形BFD′E一定是平行四邊形，
故結(jié)論①正確．
②當(dāng)F與C′重合，E與A點重合時，BF顯然與EB不相等，不能是正方形，
當(dāng)這不重合時，BF和BE不可能垂直，
綜合可知，四邊形BFD′E不可能是正方形
結(jié)論②錯誤．
③∵四邊形BFD′E在底面ABCD的投影是四邊形A′B′C′D′，
故一定是正方形，③結(jié)論正確．
④當(dāng)E，F(xiàn)分別是AA′，CC′的中點時，
EF∥AC，AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
BB′⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∴BB′⊥EF，
∵BB′?面BDD′B′，BD?面BDD′B′，BD∩BB′=B，
∴EF⊥面BDD′B′，
∵EF?四邊形BFD′E，平面BB′D?面BDD′B′，
∴面形BFD′E⊥面BDD′B′．
故結(jié)論④正確．
故選：B．

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用．有些地方，需要找一些特殊點來解決，比如第④結(jié)論找到中點的情況．