Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），直線x+$\sqrt{2}$y=0與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為（-$\sqrt{2}$，1），點(diǎn)A是橢圓C上的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)AF₁交橢圓C于點(diǎn)B，連接BF₂，AF₂
（1）求橢圓C的方程；
（2）求△ABF₂的內(nèi)切圓的最大周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=$\sqrt{2}$，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求得a²=4，b²=2．則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出AB所在直線方程x=ty-$\sqrt{2}$，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的縱坐標(biāo)的和與積，求出|y₁-y₂|取最大值時(shí)的t值，得到A的坐標(biāo)，由圓心到三邊的距離相等求得最大內(nèi)切圓的半徑，則答案可求．

解答 解：（1）由題意得，c=$\sqrt{2}$，
由點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，1）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
得$\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，①
又a²=b²+c²，∴a²=b²+2，②
聯(lián)立①②解得：a²=4，b²=2．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）如圖，設(shè)AB所在直線方程為x=ty-$\sqrt{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-\sqrt{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x得：$（{t}^{2}+2）{y}^{2}-2\sqrt{2}ty-2=0$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-2}{{t}^{2}+2}$，
$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{t}^{2}+2}}$=$4\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1+1）^{2}}}$
=$4\sqrt{\frac{{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1）^{2}+2（{t}^{2}+1）+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{（{t}^{2}+1）+\frac{1}{{t}^{2}+1}+2}}$$≤\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{（{t}^{2}+1）•\frac{1}{{t}^{2}+1}}+2}}=\frac{1}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)${t}^{2}+1=\frac{1}{{t}^{2}+1}$，即t=0時(shí)上式等號(hào)成立．
∴當(dāng)AB所在直線方程為x=-$\sqrt{2}$時(shí)，△ABF₂的面積最大，內(nèi)切圓得半徑最大，
設(shè)內(nèi)切圓得圓心為（m，0），
AF₂所在直線方程為$\frac{y}{1-0}=\frac{x-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}-\sqrt{2}}$，整理得$x+2\sqrt{2}y-\sqrt{2}=0$．
由$m+\sqrt{2}=\frac{|m-\sqrt{2}|}{3}$，解得m=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴△ABF₂的內(nèi)切圓的最大半徑為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則△ABF₂的內(nèi)切圓的最大周長(zhǎng)為2π•$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，屬中檔題．