Question

5．在公差為d的等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，a₂+1，a₃+2成等比數(shù)列
（I）求d，a_n；
（Ⅱ）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

分析 （I）易知（a₂+1）²=a₁（a₃+2），從而求得d=-1；
（Ⅱ）可知當(dāng)n≤11時(shí)，a_n≥0，當(dāng)n＞11時(shí)，a_n＜0；從而分類討論求其和．

解答 解：（I）∵a₁，a₂+1，a₃+2成等比數(shù)列，
∴（a₂+1）²=a₁（a₃+2），
即（10+1+d）²=10（10+2d+2），
解得，d=-1，
故a_n=10+（n-1）d=11-n，
（Ⅱ）∵a_n=11-n，
∴當(dāng)n≤11時(shí)，a_n≥0，當(dāng)n＞11時(shí)，a_n＜0；
①當(dāng)n≤11時(shí)，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=$\frac{10+11-n}{2}$•n=$\frac{（21-n）n}{2}$；
②當(dāng)n＞11時(shí)，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2（a₁+a₂+a₃+…+a₁₁）-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₁+a₁₂+…+a_n）
=2×$\frac{10×11}{2}$-$\frac{10+11-n}{2}$n
=110-$\frac{（21-n）n}{2}$．
綜上所述，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（21-n）•n}{2}，1≤n≤11}\\{110-\frac{（21-n）n}{2}，n＞11}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．