Question

5．在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，a₂+1，a₃+2成等比數列
（I）求d，a_n；
（Ⅱ）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

分析 （I）易知（a₂+1）²=a₁（a₃+2），從而求得d=-1；
（Ⅱ）可知當n≤11時，a_n≥0，當n＞11時，a_n＜0；從而分類討論求其和．

解答 解：（I）∵a₁，a₂+1，a₃+2成等比數列，
∴（a₂+1）²=a₁（a₃+2），
即（10+1+d）²=10（10+2d+2），
解得，d=-1，
故a_n=10+（n-1）d=11-n，
（Ⅱ）∵a_n=11-n，
∴當n≤11時，a_n≥0，當n＞11時，a_n＜0；
①當n≤11時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=$\frac{10+11-n}{2}$•n=$\frac{（21-n）n}{2}$；
②當n＞11時，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|
=a₁+a₂+a₃+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2（a₁+a₂+a₃+…+a₁₁）-（a₁+a₂+a₃+…+a₁₁+a₁₂+…+a_n）
=2×$\frac{10×11}{2}$-$\frac{10+11-n}{2}$n
=110-$\frac{（21-n）n}{2}$．
綜上所述，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（21-n）•n}{2}，1≤n≤11}\\{110-\frac{（21-n）n}{2}，n＞11}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數列與等差數列的性質的應用及分類討論的思想應用．